Математическая модель и формулы

Уравнение регрессии с двумя независимыми переменными имеет вид:

(15)

В канонической форме это уравнение имеет вид:

(16)

где Ys - координаты центра поверхности отклика,

Bii - коэффициенты уравнения регрессии в каноническом виде,

Xi - канонические переменные, являющиеся линейными функциями факторов хi.

Порядок канонического преобразования.

Преобразование уравнения к каноническому виду выполняют в два этапа:

.Определяем координаты в центре поверхности отклика.

Для этого решаем систему нормальных уравнений

(17)

(18)

Решая эту систему уравнений получим корни уравнений:

(19)

(20)

Для определения Ys необходимо в исходное уравнение регрессии в кодированном виде вместо Х1 подставить х1s и х2s.

. Переносим начало координат в центр поверхности отклика (точку S).

При переносе освобождаемся от линейных факторов уравнения регрессии в кодированном виде.

Новые координаты находим по формулам:

(21)

(22)

(23)

Если в уравнении регрессии в кодированном виде подставить новые значения, то получим:

(24)

. Для того чтобы избавиться от взаимодействия факторов, необходимо повернуть оси координат на угол α до совмещения с осями эллипса.

(25)

В канонической системе координаты связываются следующим уравнением:

(26)

(27)

.Вычисляем коэффициенты Bii канонического уравнения. Для вычисления коэффициентов Bii канонического уравнения составляют характеристический детерминант (определитель):

(28)

Приводим к виду , корни квадратного уравнения определяем по формуле:

(29)

Коэффициенты могут быть положительными и отрицательными, от знака коэффициента зависит вид поверхности:

а) если коэффициенты имеют одинаковые знаки, то поверхность отклика - эллиптический параболоид. В центре поверхности максимум при Bii < 0 и минимум при Bii > 0

б) если коэффициенты имеют разные знаки, то поверхность отклика - гиперболический параболоид. В центре поверхности точка S - “ минимакса”.

в) если один из коэффициентов близок к 0, то поверхность - возвышенность, которая уходит далеко в бесконечность.

На практике для исследования поверхности и оптимизации выбирают два фактора наиболее сильно влияющие на процесс, остальные факторы стабилизируют на центральном уровне и тогда в кодированном виде значения факторов будут равны 0, а для изменяемых - результаты расчета.

Оптимизация технологического процесса.

1 метод - «Ридж-анализ».

Он базируется на методе неопределенных множителей Лагранжа. Для выбора оптимального режима необходимо составить следующую систему уравнений, где количество уравнений равно количеству факторов:

(30)

Количество уравнений равно количеству факторов. Решая систему уравнений, получим корни:

; (31)

, (32)

где λ - неопределенный множитель Лагранжа.

Выбор значения λ зависит от типа задачи. В случае задачи на Y max, рекомендуется выбирать значение λ таким образом, чтобы оно было больше максимального канонического коэффициента Bii;

λ' ≥ λ > Bmax (33)