Выборка объёмом 50

3) Альтернативная гипотеза имеет вид

Н1: М(Y)≠М(Y’). (33)

В этом случае наибольшая мощность критерия достигается при двусторонней критической области, состоящей из двух интервалов (-∞, Yлев,α) и (Yпр,α,+∞).

Р (N(0,1)< Yлев,α/2)=α/2; (34)

P (N(0,1)> Yпр,α/2)=α/2. (35)

В силу симметрии плотности распределения N(0,1) относительно нуля имеет место лев,α/2=-Yпр,α/2. Если числовые значения критерия Кнаб, вычисленное по формуле (7), попадает в интервал (-∞, Yлев,α/2) или в (Yпр,α/2,+∞), то принимаем гипотезу Н1; если Yлев,α/2<Кнаб< Yпр,α/2 , то принимаем гипотезу Н0.

По двум независимым выборкам, объёмы которых равны n=15, m=50, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, вычислены средние значения =19,09, При уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу Н0: М(Y)=М(Y’) при конкурирующей гипотезе

Н1: М(Y)≠М(Y’).

Наблюдаемое значение критерия равно

(36)

По таблице определяем Хпр,α/2 из условия

Ф(Yпр,α/2)=(1-α)/2=0,475.

Получаем Yпр,α/2=1,96, Yлев,α/2=-1,96. Так как -1,96<0.5<1.96, то наблюдаемое значение попало в область допустимых значений. Поэтому гипотеза Н0 о равенстве математических ожиданий подтверждается на уровне значимости α=0,05.

.2.4 Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий

При обработке наблюдений часто возникает необходимость сравнить две или несколько выборочных дисперсий. Основная гипотеза, которая при этом проверяется: можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии.

Рассмотрим две выборки Y и Y’, средние значения которых соответственно равны 19,09 и 19,79, выборочные дисперсии 0,81 и 1,35. Требуется выяснить, являются ли выборочные дисперсии значимо различными или же полученные выборки можно рассматривать как взятые из генеральных совокупностей с равными дисперсиями. Предположим, что первая выборка сделана из генеральной совокупности с дисперсией σ12, а вторая - из генеральной совокупности с дисперсией σ22. Проверяется нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий Hо: σ12= σ22. Чтобы отвергнуть эту гипотезу, нужно доказать значимость различия между S12 и S22 при выбранном уровне значимости р. В качестве критерия значимости обычно используется критерий Фишера. В условиях нулевой гипотезы σ12= σ22 и σ12/σ22=1 и, следовательно,

F-распределение может быть непосредственно использовано для оценки отношения выборочных дисперсий S12/S22. При доверительной вероятности 1-р двусторонняя доверительная оценка величины F имеет вид

Fp/2(f1,f2)≤F≤F1-p/2(f1,f2) (37)

В условиях нулевой гипотезы F= S12/S22, следовательно, с вероятностью 1-р должно выполняться двухстороннее неравенство

(38)

Вероятность неравенства равна уровню значимости р, они образуют критическую область для нулевой гипотезы. Если полученное дисперсионное отношение попадает в критическую область, различие между дисперсиями нужно считать значимым.

Двусторонний критерий значимости (26) применяется для альтернативной гипотезы Н1: σ12≠σ22, т.е. когда соотношение между генеральными дисперсиями неизвестно. При этом в неравенстве (26) надо проверять только правую часть, так как левая часть всегда выполняется по условию