Выборка объёмом 50

Поскольку выборка объемом 50 сформирована из выборки объемом 60, имеющей нормальное распределение, то и сама выборка объемом 50 имеет нормальное распределение.

Рисунок 2 - Гистограмма распределения для n=50

.2.2 Среднее и дисперсия выборки объёмом 50

Вычисляем среднее арифметическое результатов наблюдений по формуле (1): =19,79.

Вычисляем дисперсию по формуле (2): D=1,35.

.2.3 Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух выборок при условии равенства их генеральных дисперсий

Пусть генеральные совокупности X и Y объёмом n и m соответственно распределены по нормальному закону, причём средние квадратические отклонения их известны и равны соответственно и . Требуется по двум независимым выборкам y1 yn и y’1 y’m из генеральных совокупностей Y и Y’ соответственно проверить гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е. основная гипотеза имеет вид:

Н0: М(Y)=М(Y’), (28)

Построим критерий проверки этой гипотезы, основываясь на следующем соображении: так как приближённое представление о математическом ожидании даёт выборочное среднее, то в основе проверки гипотезы должно лежать сравнение выборочных средних . Найдём закон распределения разности . Эта разность является случайной величиной.

Если гипотеза Н0 верна, то

, (29)

Пользуясь свойствами дисперсии, получим:

Так как случайная величина является линейной комбинацией независимых нормально распределенных случайных величин Y1,…,Yn, Y’1,…,Y’m, то случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами а=0, . В качестве критерия выберем пронормированную случайную величину , т.е.

, (30)

Таким образом, если гипотеза верна , случайная величина К имеет нормальное распределение N (0,1).

Теперь зададимся уровнем значимости α и перейдём к построению критических областей и проверки гипотезы для трёх видов альтернативной гипотезы Н1.

1) Альтернативная гипотеза имеет вид

Н1: М(Х)>М(Y). (31)

В этом случаи критическая область есть интервал (Yпр,α,+∞); где критическая точка Yпрα определяется из условия Р(N(0.1)> Yпрα)=α. Подставляем числовые значения, найдём значение случайных величин и значение критерия Кнаб. Если Кнаб> Yпрα, то гипотезу Н0 отвергаем и принимаем гипотезу Н1. Поступая таким образом, можно допустить ошибку первого рода с вероятностью α.

) Альтернативная гипотеза имеет вид

Н1: М(Y)<М(Y’). (32)

В этом случаи критическая область имеет вид (-∞, Yлев,α), где критическая точка Хлев,α находится из уравнения P(N(0.1)< Yлев,α)=α. Вычислим числовое значение Кнаб. Если оно попадает в критическую область, то принимается гипотеза Н1, в противном случае - гипотеза Н0.