Выборка объёмом 50

1.2.2 Проверка нормальности распределения по критерию Пирсона (χ2)

Для проверки согласия между предполагаемым нормальным и эмпирическим распределением по критерию Пирсона (χ2) рекомендуется следующий порядок:

а) Результаты наблюдений группируются в интервальный вариационный ряд;

б) Определяется длина и количество интервалов;

в) Подсчитывается количества mi наблюдений, находящихся в каждом из интервалов. Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то его соединяют с соседним интервалом;

г) Нормируют случайную величину X, т.е. переходят к величине

z = (x-mx)/σx и вычисляют концы интервалов (zi,zi+1) по формулам

zi =(xi-mx)/σx, (21)

zi+1 = (xi+1-mx)/σx. (22)

Причем наименьшее значение z, т.е. z1, полагают равным -∞, а наибольшее, т.е. z7, полагают равным +∞.

д) Для каждого интервала вычисляется теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-интервал по формуле

Pi = F(zi+1)-F(zi), (23)

где F - функция нормального распределения, равная

F(z) = Ф[(zв-mx)/σx] - Ф[(zн-mx)/ σx]. (24)

Здесь Ф - нормированная функция Лапласа;

zв и zн - соответственно верхняя и нижняя границы i-го интервала.

е) Определяется мера расхождения по формуле

χ2 = Σ(mi - nPi)2/nPi. (25)

Весь диапазон наблюдений значений x делится на интервалы, т.е. производится разделение ряда экспериментальных данных от наименьшего xmin до наибольшего xmax на 6 интервалов, и подсчитывают количество значений mi, приходящихся на каждый i-ый интервал. Это число делят на общее число наблюдений n и находят частоту, соответствующую данному интервалу:

Pi = mi /n (26)

Сумма частот всех интервалов должна быть равна единице.

Примем число интервалов равное 6.

Длина интервала h вычисляется по формуле:

h = (xmax-xmin)/l (27)

h = (21,53 - 17,62)/6 = 0,7

Найдем границы интервалов:

x0 = xmin = 17,62,

x1 = x0+h = 17,62+0,7= 18,32 ,

x2 = x1 +h = 18,32+0,7 = 19,02 , 3 = x2 +h = 19,02+0,7 = 19,72 ,4 = x3 +h = 19,72+0,7 = 20,42 ,5 = x4 +h = 20,42+0,7 = 21,12 ,6 = x5 +h = 21,12+0,7 = 21,82 .

z0=-∞,

z1=(x1-mх)/σ=-1,0352,2=-0,5423,

z3=-0,0493,

z4=0,4437,

z5=0,9366,

6=+∞ .

Найдем наблюдаемое значение критерия (по таблице 6).

Таблица 6