Исследование операций в экономике

Получили еще одно решение задачи: х3 = х4 = 0, т.к. векторов А3, А4 нет в базисе первой итерации, и х1 = 6, х2 = 4, х5 = 1, х6 = 3, т.к. векторы А1, А2, А5 и А6 находятся в базисе и им соответствуют значения плана В (6; 4; 1; 3), значит, задача обладает новым опорным планом Х=(6; 4; 0; 0; 1; 3).

Рассчитаем строку оценок для каждого столбца А1, А2, А3, А4, А5, А6:

∆1 = 2*1+ 0*0+3*0+0*0 - 2 = 0

∆2 = 2*0+ 0*0+3*1+0*0 - 3 = 0

∆3 = 2*(-1/5)+ 0*(-2/5)+3*2/5+0*(3/5) - 0 = 4/5

∆4 = 2*3/5+ 0*1/5+3*(-1/5)+0*(-9/5) - 0 = 0

∆5 = 2*0+ 0*1+3*0+0*0 - 0 = -6+3= 0

∆6 = 2*0+ 0*0+3*0+0*1 - 0 = 0

Новый план Х=(6; 4; 0; 0; 1; 3) - оптимальный, так как в строке оценок ∆j нет отрицательных значений.

Находим оптимум целевой функции:

max f() = 2 x1 + 3x2 = 2*6 + 3*4 = 24.

Найдем двойственные оценки.

Расширенная матрица коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи аij и свободных членов bi; коэффициенты целевой функции:

Транспонируя данную матрицу, получим коэффициенты для системы ограничений двойственной задачи:

В результате получим искомую двойственную задачу:

Для нахождения оценок у1, у2, у3, y4 используем вторую теорему двойственности.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом

Поскольку третье и четвертое ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то у3 =0 и y4=0. Так как х1>0, х2> 0, то оба неравенства из двойственной задачи выполняются как равенства:

,

,

Т.е.

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

Z(1, 0, 1, 0)= 18*4/5+16*3/5+5*0+21*0=(72+48)/5=24.

оптимум линейный программирование двойственный симплексный

По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок.

. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращения объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи).

В задаче увеличение ресурса I вида на 1 ед. привело бы к росту максимальной суммы прибыли на 4/5 у.е. (у1=1), а увеличение ресурса III и IV вида не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и сумму прибыли (y3, y4 = 0).

. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем не дефицитными (избыточны).