Составление математической модели

Математическая модель объекта может быть представлена в виде совокупности математического описания структуры системы, системы балансовых уравнений (СБУ) элементов системы, системы ограничений на параметры и функции цели.

Графически структуру и связи элементов в модели можно представить с помощью графа. Графом в общем случае принято считать совокупность отрезков произвольной длины и формы, называемых дугами, и точек пересечения дуг, называемых вершинами. Использование теории графов позволяет осуществить математически строгое и в то же время достаточно наглядное рассмотрение структуры технологической схемы. Расчетная технологическая схема исследуемой системы представлена в виде ориентированного (направленного) потокового графа в графической части проекта.

Под ориентированным графом G = (Х,U) понимают геометрическую фигуру на плоскости, состоящую из множества вершин (точек) Х и множества ориентированных дуг U, их соединяющих.

Элементы исследуемой системы в этом случае являются вершинами, а потоки сырья и энергии (связи) - ориентированными дугами. Ориентация дуг совпадает с направлением потоков.

Последовательность ориентированных дуг, позволяющих пройти из одной вершины в другую, называется путем и изображается последовательностью соответствующих вершин. Вершины, соединенные дугой, называются инцидентными. Путь, содержащий К дуг, считают путем длиной К. Путь, начальная вершина которого совпадает с конечной, причем каждая вершина, за исключением начальной, проходится только один раз, называется элементарным путем, или просто контуром. Контуры, состоящие из одинаковых вершин, считаются одинаковыми. Контуры графа, имеющие хотя бы одну общую вершину, называются связанными. Множество связанных контуров графа образуют «комплекс», т. е. комплекс - это максимально возможное множество вершин и дуг графа, обладающее тем свойством, что для любых двух вершин этого множества существует соединяющий их путь.

При составлении графа желательно избегать перекрещивания дуг. После получения изображения графа выполняется его кодирование с использованием структурной матрицы (табл. 3.1) и матрицы видов связей (табл. 3.2). Для этого предварительно вершины и дуги графа нумеруются. Для обозначения вершин в данном случае использованы римские цифры, для дуг - арабские.

Единица в ij-м элементе структурной матрицы дает логический признак, означающий, что из j-го элемента системы исходит (знак плюс) или в него входит (знак минус) i-я связь. При этом строка, соответствующая связи с внешними системами (внешняя связь), имеет один ненулевой член («+1» - для исходящих и «-1» - для входящих внешних связей системы), а строка, соответствующая внутренней связи, имеет две единицы, в сумме дающие нуль. Это отражается в последнем столбце таблицы, ячейки которой содержат сумму соответствующей строки матрицы. Структурная матрица, которую также называют матрицей соединений, полностью отображает структуру графа технологической схемы системы и позволяет перевести ее на математический язык, что имеет важное значение для автоматизации процесса моделирования.

Единицы в j-х столбцах матрицы видов связей по энергоносителям дают логический признак вида j-го энергоносителя, посредством которого осуществляется i-я связь. А1, А2 и т. д. обозначают наименование или код энергоносителя.

Таблица3.1.Матрица соединений