Оценивание параметра авторегрессии методом МНК

Для получения оценки МНК параметра для модели авторегрессии 1-го порядка рассмотрим сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений переменной от ожидаемых значений

Необходимое условие минимума приводит к следующей оценке

(5)

Для модели 2-го порядка сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от ожидаемых значений имеет вид

Необходимое условие минимума приводит к следующей системе уравнений

2.2 Фильтр Калмана

Фильтр Калмана также можно использовать для оценки параметра модели.

Рассматривается система линейных разностных уравнений вида

, (6)

, (7)

- n-мерный вектор состояний, z - l-мерный вектор измерений. и - последовательность гауссовских случайных величин с нулевым математическим ожиданием. Будем считать что они независимы между собой.

Задача состоит в том, чтобы на основе полученных измерений получить оценку

Оценка вычисляется как решение разностного уравнения

, (8)

- матричный коэффициент, - невязка. Чем она меньше, тем ближе оценка к истинному значению. Коэффициент K выбирается таким образом, чтобы оценка была несмещённой с минимальной матрицей ковариаций.

Если ввести ошибку , то эта ошибка будет удовлетворять следующему уравнению:

,

где

- последовательность гауссовских случайных величин со свойствами

Далее введём квадратную матрицу

Введём и как среднее и матрицу ковариации

Получим следующее

Осталось выбрать K таким образом, чтобы минимизировать

Представим правую часть в виде полного квадрата относительно K:

Из последнего равенства получим следующее:

(9)

(10)

- оптимальный коэффициент.

- решение уравнения Риккати. Для упрощения моделирования заменяем стационарным значением. , которая находится из алгебраического уравнения Риккати