Постановка задачи оптимального управления

Одномерная задача;

k = k(t) - состояние (аналог параметра x=x(t));

с = с(t) - управление (аналог параметра u=u(t)).

1) Функционал:

Задача с бесконечным горизонтом времени;

- коэффициент пересчета стоимости потребительских благ (дисконтирование).

Иногда рассматривается функционал

1) Основное соотношение (дифференциальная связь)

Общее соотношение в теории

1) Граничные условия - закрепленный левый конец;

1) Ограничение на управление:

- область допустимых управлений.

Математическая постановка задачи оптимального управления

(25)

Применим для решения задачи принцип максимума Понтрягина.

Множители Лагранжа , p(t) - сопряженная переменная.

В данной задаче ().

Функция Понтрягина:

.

В данной задаче

.

Сопряженное уравнение (общий вид):

.

экономический рост система солоу

В данной задаче

;

- интегрант.

;

Замена переменной

, .

,

.

Подставим соотношение для

,

(сопряженное уравнение)

Общее решение уравнения

Условие максимума функции Понтрягина:

Общий вывод

Если , , то максимум достигается при .

Если , , то максимум достигается при .

Если , , то функция Понтрягина явно не зависит от , можно выбрать любое значении из допустимой области.

Из условия максимума

c - произвольное допустимое значение управления,

с

Сопряженное уравнение (после преобразования)

,

(неизвестное)

Основное динамическое соотношение ( дифференциальная связь)

Стационарный режим в системе: основные параметры не зависят от времени t

,

,

.