Модель Солоу с непрерывным временем

- уравнение относительно стационарного значения .

- корень уравнения (20).

По предположению обладает свойствами:

- характер функции не изменяется;

Обозначим:

- линейная функция;

- функция, аналогичная f(k).

Уравнение (20) перепишем в виде:

Рис.1

Условия пересечения (существования и единственности стационарного решения):

То есть, если , то существует единственное стационарное решение.

Найдем точку k1* , в которой .

- убывающая, т.к. .

При этом при .

Точка k1* существует, причем 0 < k1* < k(0).

Исследуем нестационарное решение уравнения (19):

Заметим, что если , то , k(t) - возрастающая.

Если , то , k(t) - убывающая.

Итак, если , то при некотором t > 0, k(t) - возрастающая.

Если , то при некотором t > 0, k(t) - убывающая.

Пересечения k(t) и нет.

Рис.2

Исследуем более подробно поведение k(t). Продифференцируем (19) второй раз по t

Заметим, что если , то ;

При : , таким образом, при справедливо .

Иначе: , или при k1*. Таким образом, при 0 < k1* < k(0)

k(t) выпукла (вниз).

Если , то

Если и , то .

Таким образом, выполнено условие (22)

При k1* < k < k(0) получаем выполнение условия (22); k(t) выпукла вверх.

Аналогично можно показать, что при

Окончательные соотношения для второй производной

При выполняется , , тогда .

При k1* < k < k(0) выполняется , , тогда .