Вычисление оптимальных настроек регулятора

Определению подлежат настройки, которые наилучше обеспечивают заданную степень колебательности для переходного процесса или, что более наглядно, степень затухания переходного процесса:

,

где и - 1-е и 3-е динамическое отклонение регулируемой величины от установившегося значения. Эти отклонения определяются непосредственно по графику переходного процесса, однако степень затухания может быть определена и другим путём - через степень колебательности:

Степень колебательности, в свою очередь, связана с комплексной плоскостью корней характеристического уравнения АСР; буквально означает модуль отношения действительной части комплексного корня к мнимой. Из теории автоматического управления известно, что если сопряжённые корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости корней, то переходный процесс имеет затухающую колебательную составляющую. Характеристическое уравнение 3-го порядка может иметь, кроме этого, вещественный корень, который также должен находиться в левой полуплоскости. Он обуславливает наличие монотонной составляющей в результирующем переходном процессе. Уравнения более высоких порядков может иметь несколько пар корней, однако определяющее значение для результирующем переходном процессе имеет та пара корней, которая характеризуется наименьшим (по модулю) отношением действительной координаты к мнимой:

Все остальные корни должны находится внутри воображаемого сектора, образованного началом координат, ближайшей к мнимой оси, парой корней. Из изложенного следует, что настройки регулятора на требуемое значение коэффициента затухания переходного процесса можно найти, назначив для характеристического уравнения АСР граничную пару корней:

(14)

Это требование равносильно построению расширенной КЧХ, которая должна быть получена из формулы (2) путём замены S на (-b потому, что корень должен лежать в левой полуплоскости). С учётом (19) -b можно заменить на . Для унификации вида переходного процесса значения условно нормированы, обычно применяются значения 0,22; 0,30; 0,37; 0,48.

Таким образом, для заданного объекта расширенная по КЧХ:

(15)

После выполнения преобразований получим для построения расширенной АФХ:

· по модулю и аргументу:

(16)

· по действительной и мнимой частям:

(17)

Легко заметить, что при m=0 выражения (16) и (17) сводится к выражениям обычной АФХ данного объекта.

Формулы для определения пар настроек во всём диапазоне частот, обеспечивают заданное значение степени колебательности, могут быть получены из характеристического уравнения замкнутой АСР (12) . Однако вместо составляющих ,,, необходимо подставить в нее соответственно

,,,

Эти настройки будут найдены из условия пересечения графиком расширенной КЧХ замкнутой системы критической (в смысле критерия Найквиста-Михайлова) точки с координатами (-1, j 0), т.е. из условия:

(18)

(19)

Найдем оптимальные настройки ПИ - регулятора с графика:

Рисунок 3. Граница устойчивости АСР при

m

=0 и

m

=0.48 (верхняя и нижняя соответственно)

Оптимальной настройкой для данной АСР будут настройки: .