Решение задачи парковки

A. Renyi в работе [1] доказал, что математическое ожидание .

удовлетворяет соотношению (2.1.1)

где постоянная , (2.1.2)

В работе [2] соотношение (2.1.1) (2.1.3)

и доказано, что среднее квадратическое отклонение

удовлетворяет соотношению (2.1.4)

где - некоторая постоянная величина.

Кроме того, доказано, что стандартная случайная величина

имеет предельное нормальное распределение с параметрами от (0,1) при .

Доказывается двумя способами:

а) все моменты сходятся к нормальным моментам при ;

б) непосредственное применение центральной предельной теоремы для сумм независимых случайных величин.

а) нормальное распределение:

плотность вероятности

функция распределения

б) центральная предельная теорема:

Если , … - независимо одинаково распределенные случайные величины, и имеющие математическое ожидание и дисперсию , то при закон распределения суммы : неограниченно приближается к нормальному [6]:

Для решения задачи парковки рассматриваются некоторые интегральные уравнения.

Пусть для интервал будет случайным интервалом, занятым первой машиной, вставшей на стоянку на отрезке длины . Процесс парковки таков, что число машин, которые будут в конце концов размещены от первой, не зависят от числа машин, которые уже размещены на стоянке. При этом число машин, размещенных на отрезке , имеют распределение , а число машин на отрезке имеют распределение . Следовательно, условное распределение , при условии, что первая машина занимает такое же, как распределение , где и независимы, тогда