Анализ математической модели

На втором этапе решения задачи анализируется математическая модель объекта и преобразуется к более удобному для последующих действий виду.

Бесперебойное функционирование объекта возможно лишь в том случае, если общее количество комплектов a1+a2+a3 , изготовленных в сутки заготовительными цехами, равно общему количеству комплектов b1+b2+b3 , используемых в сутки сборочными цехами. Коль скоро так, суммы трех первых и трех последних уравнений системы (1) дают один и тот же результат. Отсюда следует, что уравнения системы зависимы, и, значит, одно из них может быть опущено. Какое уравнение опустить, существенной роли не играет. Пусть для конкретности последующих рассуждений опущено третье уравнение.

Итак, система (1) предстает как система пяти уравнений с девятью переменными:

x11+x12+x13=a1

x21+x22+x23=a2

x11+x21+x31=b1 (4)

x12+x22+x32=b2

x13+x23+x33=b3

В этой системе четыре переменных (9-5=4) могут принимать любые значения в пределах ограничений (2), а остальные пять будут зависеть от них. Первые называют свободными, вторые базисными переменными.

После того как свободные переменные приняли некоторые значения, система (4) превращается в систему пяти уравнений с пятью неизвестными. Она имеет единственное решение. Решение исходной системы (4), при котором свободные переменные полагаются равными нулю, называется базисным решением. Если при этом базисные переменные оказались неотрицательными, оно именуется допустимым базисным решением.

Разбиение переменных на свободные и базисные в известной степени произвольно. Следует учитывать лишь одно условие: свободными переменными не могут быть одновременно три переменных с одинаковыми первыми или вторыми индексами.

Далеко не всякое базисное решение является допустимым базисным решением. Между тем для нас представляют интерес только эти последние. В теории линейного программирования доказывается, что допустимые базисные решения являются вершинами многогранника допустимых решений. Отсюда следует, что решение поставленной задачи следует искать среди допустимых базисных решений.

Как выбрать свободные переменные, чтобы соответствующее им базисное решение было допустимым базисным? Общих рекомендаций на этот счет нет. В отдельных случаях можно воспользоваться таким правилом:

если для какого-либо сочетания i , j и k выполняется неравенство:

(5)

в качестве комбинации свободных переменных, обеспечивающей допустимое базисное решение, может быть выбрана совокупность:

(6)

Проиллюстрируем примером, который будет использован в дальнейшем. Пусть . Тогда i=1, j=2, k=3; индексы т и п могут быть либо "1", либо "2", причем, если т =1, то n=2 , и наоборот.

То же правило остается в силе, если . Тогда в совокупности (6) первые и вторые индексы следует поменять местами.

Если соотношений типа (5) установить нельзя, как в моем случае, комбинация (6) в качестве совокупности свободных переменных не годится. Тогда такую совокупность можно составить из трех диагональных переменных x11,x22,x33 и одной недиагональной , с индексами i и j, соответствующими наименьшим значениям величин ai и bj.

Исходя из этого: x11, x22, x33, x12 - свободные переменные(7)

x13, x21, x23, x31, x32 - базисные переменные