Моделирование рисковых ситуаций

Задача 1

Определить верхнюю и нижнюю цену игры и, если это возможно, седловую точку.

А =

Решение:

А =

α = max min aij = 2

β = min max aij = 5

Так как α ≠ β, то седловой точки у этой матрицы нет.

Ответ: у матрицы А седловой точки нет.

Задача 2

Дана матрица выигрышей. Решить игру графически и аналитически.

А =

Решение:

. Проверим наличие седловой точки:

А =

Так как α ≠ β, то седловая точка отсутствует.

. Определим средние выигрыши А:

HA = (P,B1) = 4p + 5 (1- p)= (P,B2) = 6p + 2 (1- p)

3. Построим нижнюю огибающую на плоскости {р, Н}:

. Определим γ и р0. Точка (р0, γ) принадлежит обеим прямым H(P,B1) и H(P,B2).

γ = 4 р0 + 5 (1- р0)

γ = 6 р0 + 2 (1- р0)

р0 - 3 (1- р0) = 0

р0 - 3 = 0

р0 = 3

р0 = 3/5 = 0,6 γ = 4 Ч 0,6 + 5 (1- 0,6)

γ = 2,4 + 2

γ = 4,4

Решая эту систему, получим р0 = 0,6; γ = 4,4. Таким образом цена игры и оптимальная стратегия игрока А γ = 4,4; р0 = {0,6; 0,4}.

Определим оптимальную стратегию Q0 = {q; 1 - q} игрока В:

γ = 4 q + 6 (1 - q) = 4,4

γ = 5 q + 2 (1 - q) = 4,4

Q0 = {0,8; 0,2}

Ответ: р0 = {0,6; 0,4}, Q0 = {0,8; 0,2}, γ = 4,4.

Задача 3

Дана матрица выигрышей и вероятностей qi состояний природы Пi. Определить оптимальные чистые стратегии в условиях неопределенности для матрицы выигрышей.

А= q1 = 0,25, q2 = 0,3, q3 = 0,35, q4 = 0,1

Решение:

. Матрица выигрышей А имеет вид:

А=

Определим средние выигрыши āi = ∑ āij qj для каждой стратегии А i:

ā1 = 2Ч0,25 + 4Ч0,3 + 1Ч0,35 + 8Ч0,1 = 0,5 + 1,2 + 0,35 + 0,8 = 2,85;

ā2 = 4Ч0,25 + 7Ч0,3 + 3Ч0,35 + 5Ч0,1 = 1 + 2,1 + 1,05 + 0,5 = 4,65;

ā3 = 3Ч0,25 + 0Ч0,3 + 4Ч0,35 + 2Ч0,1 = 0,75 + 0 + 1,4 + 0,2 = 2,35;

ā4 = 5Ч0,25 + 2Ч0,3 + 8Ч0,35 + 1Ч0,1 = 1,25 + 0,6 + 2,8 + 0,1 = 4,75.

Согласно критерию оптимальности max∑ āij qj = 4,75. Следовательно, стратегия А 4 является оптимальной.

. Матрица рисков R имеет вид:

R =

матрица выигрыш неопределенность стратегия

Определим средние риски ri = ∑ rij qj для каждой стратегии А i:

r1 = 3Ч0,25 + 3Ч0,3 + 7Ч0,35 + 0Ч0,1 = 0,75 + 0,9 + 2,45 + 0 = 4,1;

r2 = 1Ч0,25 + 0Ч0,3 + 5Ч0,35 + 3Ч0,1 = 0,25 + 0 + 1,75 + 0,3 = 2,3;

r3 = 2Ч0,25 + 7Ч0,3 + 4Ч0,35 + 6Ч0,1 = 0,5 + 2,1 + 1,4 + 0,6 = 4,6;

r4 = 0Ч0,25 + 5Ч0,3 + 0Ч0,35 + 7Ч0,1 = 0 + 1,5 + 0 + 0,7 = 2,2.

Согласно критерию min∑ rij qj= 2,2. Как следовала ожидать в силу эквивалентности стратегия А 4 является оптимальной.

Ответ: стратегия А 4 является оптимальной.

Задача 4

Используя критерии максимакса, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (ж = 0,75) определить оптимальные чистые стратегии в условиях неопределенности для матрицы выигрышей.

А=

Решение:

. Критерий максимакса:

max max аi j = 8, следовательно, наилучшим решением будет А 2.

. Максиминный критерий Вальда:

W = max min аi j

для А 1 min а1 j = 2

для А 2 min а2 j = 5

для А 3 min а3 j = 1

Следовательно, W = max min аi j= 5. таким образом, наилучший по критерию Вальда является стратегия А 2.

. Критерий минимаксного риска Сэвиджа:

S = min max rij

R =

для А 1 max r1j= 6

для А 2 max r2j= 1

для А 3 max r3j= 6

Следовательно, S = min max rij= 1, что соответствует стратегии А 2.

. Критерии пессимизма - оптимизма Гурвица:

HA = max (ж min аi j + (1 - ж) max аi j)

Для матрицы выигрышей А критерий Гурвица имеет вид:

для А 1 HA1 = 0,75Ч2 + (1 - 0,75)Ч4 = 1,5 + 0,25Ч4 = 1,5 + 1 = 2,5;

для А 2 HA2 = 0,75Ч5 + (1 - 0,75)Ч8 = 3,75 + 0,25Ч8 = 3,75 + 2 = 5,75;