Гeометрическая интерпретация двумерной задачи ЛП и ее решение

Рассмотрим двумерную задачу:

(1)

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = x1+x2 → max, при системе ограничений (1).Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом) (Рисунок 1).

Рисунок 1-Границы области допустимых решений.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений (Рисунок 2).

Рисунок 2- границы области решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = x1+x2 → max. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = x1+x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией (Рисунок 3).

Рисунок 3- поиск максимального решения.

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив систему уравнений, получим: x1 = 1.0769, x2 = 3.4615.

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:(X) = 1*1.0769 + 1*3.4615 = 4.54.