Поле корреляции. Неколлинеарные факторы, их коэффициенты частной корреляции

Задача 1

По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:

Предварительный анализ исходных данных выявил наличие двух территорий с аномальными значениями признаков. Эти территории исключены из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанных аномальных единиц.

Задание:

. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции и линейно-логарифмической функции

. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (ryx и ηylnx) и детерминации (r2yx и η2ylnx), проанализируйте их значения.

Надёжность уравнений в целом оцените через F -критерий Фишера для уровня значимости 0,05.

На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'ср., оцените её величину.

. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,037 от среднего уровня ().

. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для 0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оцените точность выполненного прогноза.

Решение:

Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора . См. табл.2. Так как график строится в табличном процессоре EXCEL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат - на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи валового регионального продукта (Y) с кредитами, предоставленными предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.

Таблица 2

Рис. 1

По данным таблицы №2 видно, что с увеличением факторного признака (Х) увеличивается результативный признак (Y).

По характеру расположения точек на поле корреляции (по графику) можно сделать вывод о слабой связи. Так как точки корреляционного поля почти не обнаруживают определенную направленность в своем расположении, можно говорить о наличии очень слабой связи (линейной или нелинейной).

Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой:, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1 Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.3.

Таблица 3

Расчёт определителя системы выполним по формуле:

10*1163559,63 - 2504,7*2504,7 = 5362074,21

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

156,9*1163559,63 -67831,39*2504,7 =

=12665223,41

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

10*1163559,63 -156,9*2504,7 = 285326,47.

Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

; .

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

В уравнении коэффициент регрессии а1 = 0,053 означает, что при увеличении объема кредитов на 1 млн. руб. (от своей средней) объём валового регионального продукта возрастёт на 0,053 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения а0 =2,362 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объём валового регионального продукта.

Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. расчётную таблицу №4.

Таблица 4